पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9

गणित सीखना छात्र के जीवन में अहमियत रखता है और विद्यार्थी के भविष्य के लिए एक महत्वपूर्ण विषय होता है। गणित लगभग सभी वस्तुओं का आधार है, जैसे कि वृत्त, जिसे हम अपने चारों ओर देखते हैं या पाते हैं; संभाव्यता (फिजिबिलिटी) और ज्यामिति न केवल स्कूलों में, बल्कि वास्तविक जीवन के परिदृश्यों में भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। गणित में एक बहुत ही महत्वपूर्ण कांसेप्ट सतही क्षेत्रफल और आयतन है, जिसका उपयोग हमारे दैनिक जीवन में किया जाता है। आप इस ब्लॉग में पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 के बारे जानेंगे।

पृष्ठीय क्षेत्रफल क्या है?

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 में सबसे महत्वपूर्ण उप-विषयों में से एक पृष्ठीय क्षेत्रफल है। जब हम किसी द्वि-विमीय वस्तु द्वारा घेरे गए स्थान की गणना करते हैं, तो इसे क्षेत्रफल कहते हैं और इसे वर्ग इकाइयों में मापा जाता है, लेकिन जब हम त्रि-आयामी वस्तु द्वारा लिए गए स्थान की गणना करते हैं तो इसे सतह क्षेत्र के रूप में जाना जाता है जिसे वर्ग इकाइयों में भी मापा जाता है। पृष्ठीय क्षेत्रफल दो प्रकार के होते हैं-

• कुल सतह क्षेत्रफल
• पार्श्व/घुमावदार सतह क्षेत्र

कुल सतह क्षेत्रफल (टोटल सरफेस एरिया)

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 के अध्याय में कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल को समझना अनिवार्य है। वह क्षेत्र जिसमें आधार (आधारों) के साथ-साथ घुमावदार भाग भी शामिल है, कुल सतह क्षेत्र को संदर्भित करता है। यह वस्तु की सतह से घिरे क्षेत्र की मात्रा है। यदि वस्तु का एक घुमावदार आधार और सतह है, तो दोनों क्षेत्रों का योग कुल क्षेत्रफल होगा।

पार्श्व/घुमावदार क्षेत्र (लेटरल/कर्व्ड एरिया)

पार्श्व/घुमावदार क्षेत्र, पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 में भी महत्वपूर्ण है। केवल घुमावदार भाग का क्षेत्रफल वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल के रूप में जाना जाता है या घनाभों या घनों के मामले में, यह आधार और शीर्ष को छोड़कर केवल चार भुजाओं का क्षेत्रफल होता है। बेलन या शंकु जैसी आकृतियों के लिए, इसे पार्श्व पृष्ठीय क्षेत्रफल के रूप में जाना जाता है। 

आयतन या वॉल्यूम क्या होता है?

किसी वस्तु या सामग्री में जितना स्थान घेरता है, उसे घन इकाई में मापा जाता है, उसे आयतन कहते हैं। द्वि-आयामी का कोई आयतन नहीं है, बल्कि केवल क्षेत्रफल है। उदाहरण के लिए, हम एक वृत्त का आयतन नहीं खोज सकते, क्योंकि यह एक 2D आकृति है, लेकिन हम एक गोले के आयतन की गणना कर सकते हैं क्योंकि यह एक 3D आकृति है।

आयतन और आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफल

इस ब्लॉग में, हम निम्नलिखित आकृतियों के पृष्ठीय क्षेत्रफलों और आयतनों की गणना के बारे में जानेंगे –

• घनाभ
• घनक्षेत्र
• सिलेंडर
• शंकु
• वृत्त

घनाभ (क्युबॉइड)

घनाभ कक्षा 9 के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन का एक महत्वपूर्ण भाग है। यह मूल रूप से एक त्रि-आयामी आकृति है जो 6 आयताकार फालकों से बनी होती है, जिन्हें समकोण पर रखा गया है। आइए देखें कि घनाभ के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की गणना का सूत्र क्या है –

इसलिए, यदि हमारे पास लंबाई ‘l’, चौड़ाई ‘b’, ऊंचाई ‘h’ का घनाभ है, तो सूत्र हैं –

• कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

फलक का क्षेत्रफल ABCD = फलक का क्षेत्रफल EFGH = (l × b) cm2

फलक का क्षेत्रफल AEHD = फलक का क्षेत्रफल BFGC = (b × h) cm2

फलक का क्षेत्रफल ABFE = फलक का क्षेत्रफल DHGC = (l × h) cm2

TSA घनाभ = सभी 6 फलकों के क्षेत्रफलों का योग

                        = 2(l x b) +2(b x h) +2(h x l)

• घुमावदार पृष्ठीय क्षेत्रफल

CSA = फलक का क्षेत्रफल AEHD + फलक का क्षेत्रफल BFGC + फलक का क्षेत्रफल ABFE + फलक का क्षेत्रफल DHGC

        = 2(b × h) + 2(l × h)

         = 2h (l + b) 

• आयतन

आयतन = l x b x h

घनक्षेत्र (क्यूब एरिया)

घन पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 के अध्याय का एक अन्य महत्वपूर्ण भाग है। यह मूल रूप से एक घनाभ है जिसमें और अधिक सूक्ष्म विवरण हैं। इसकी लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई बराबर होती है । यह 6 बराबर वर्गों से बना होता है। आइए देखें कि घन के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन की गणना का सूत्र क्या है –

अतः, यदि हमारे पास प्रत्येक भुजा ‘a’ वाला घन है, तो –

• कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल

TSA = 2(a × a + a × a + a × a)

        = 2 × (3a2) = 6a2

• घुमावदार पृष्ठीय क्षेत्रफल

CSA = 2(a × a + a × a) 

         = 4a2

• आयतन

आयतन = a3

राइट सर्कुलर सिलेंडर

इसके बाद हम पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 के अध्याय में एक लम्ब वृत्तीय बेलन की ओर बढ़ते हैं। एक बेलन जो आकार में वृत्ताकार होता है, एक संलग्न ठोस होता है जो दो समानांतर वृत्ताकार आधारों के साथ एक घुमावदार सतह से बंधा होता है। इसमें दो आधार एक दूसरे के ठीक ऊपर होते हैं और अक्ष आधार से समकोण पर होता है। 

आइए हम ऊंचाई ‘h’ और आधार और शीर्ष ‘r’ की त्रिज्या के साथ एक गोलाकार-दाएं सिलेंडर पर विचार करें,

• कुल सतह क्षेत्रफल

TSA = CSA+दो वृत्ताकार आधारों का क्षेत्रफल

         = 2π x r x h + 2 x πr2

              = 2πr (h+r)

• घुमावदार सतह क्षेत्र

CSA = 2πrh

• आयतन

आयतन = πr2h  

दायां गोलाकार शंकु (राइट सर्कुलर कोन)

एक दायां पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 के सतही क्षेत्रफलों और आयतनों का एक महत्वपूर्ण भाग है। एक गोलाकार दायां शंकु एक गोलाकार शंकु होता है जिसका अक्ष उसके आधार पर लंबवत होता है। सतह क्षेत्र और आयतन में जाने से पहले, हमें ऊंचाई और तिरछी ऊंचाई के बीच के संबंध को समझने की जरूरत है। 

एक दायां शंकु जो आकार में गोलाकार है, उसकी ऊंचाई ‘h’ है और जिसकी लंबवत ऊंचाई है, एक तिरछी ऊंचाई ‘l’ और गोलाकार आधार ‘r’ की त्रिज्या है, तो

l2 = h2 + r2

• कुल सतह क्षेत्रफल

TSA = CSA + आधार का क्षेत्रफल

        = rl + r 2

        = r (l+r)

घुमावदार सतह क्षेत्र

CSA = ½ x 2πr xl

         = rl

• आयतन

आयतन = 1/3πr 2 h

वृत्त (सर्कल)

हम पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 के एक गोले की ओर आगे बढ़ते हैं। सरल शब्दों में एक गोला एक बंद त्रि-आयामी ठोस आकृति है। गोले की सतह पर सभी बिंदु “केंद्र” सामान्य निश्चित बिंदु से समान दूरी पर हैं । “त्रिज्या” को समदूरस्थ कहा जाता है।

इसलिए, यदि हमारे पास त्रिज्या ‘r’ वाला एक गोला है, तो,

• कुल सतह क्षेत्रफल

एक गोले के मामले में, TSA = CSA; TSA = 4πr 2

• आयतन

आयतन = 4/3πr 3

सभी सूत्रों का अवलोकन (ऑब्जरवेशन)

सभी महत्वपूर्ण सूत्र नीचे टेबल में दिए गए हैं-

आकार	TSA	CSA	आयतन
घनाभ	2(lb+bh+lh)	2h(l+b)	l x b x h
घनक्षेत्र	6a2	4a2	a3
दायां गोलाकार सिलेंडर	2πr (h + r)	2πrh	πr2h
दायां गोलाकार शंकु	πr (l+r)	πrl	1/3πr2h
वृत्त	4πr2	–	4/3πr3

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 प्रश्नों का अभ्यास करें

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 में अभ्यास प्रश्न नीचे दिए गए हैं-

• दो बराबर भाग एक गोलाकार गेंद के बने होते हैं। यदि हम जानते हैं कि गेंद के प्रत्येक आधे भाग का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 56.57 सेमी है, तो क्या आप गोलाकार गेंद का आयतन घटा पाएंगे?
• मीरा को उपहार के रूप में कैनवास का एक टुकड़ा दिया गया, जिसका क्षेत्रफल 551 मी 2 है । मीरा इसका उपयोग एक शंक्वाकार (कोनिकल) तम्बू बनाने के लिए करती है, जिसका आधार त्रिज्या 7 मीटर होगा। यह मानते हुए कि सभी सिलाई मार्जिन और काटने के दौरान किए गए अपव्यय, लगभग 1 मीटर 2 के बराबर हैं, तम्बू की वॉल्यूम का पता लगाएं जो इसके साथ बनाया जा सकता है।
• आशिता के पास एक खिलौने के लिए एक घन है। घन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल 726 सेमी 2 है । आपको घन के किनारे की लंबाई को समझना होगा।
• यदि जटिल डिजाइनों वाला एक सुंदर नक्काशीदार लकड़ी का बक्सा 8 एमएक्स 7 एमएक्स 6 मीटर आयामों से बना है और यह 8 सेमी x 7 सेमी x 6 सेमी आयामों के कई अन्य बक्से ले जाना है, तो क्या आप सुंदर नक्काशीदार बक्से की अधिकतम संख्या को समझ सकते हैं लकड़ी के बक्से ले जा सकते हैं?  
• एक बंद बेलनाकार बर्तन को और अधिक बनाने के लिए आवश्यक शीट का क्षेत्रफल परिकलित कीजिए और ज्ञात कीजिए। बंद बेलनाकार बर्तन की ऊंचाई 1 मीटर और व्यास 140 सेमी होना चाहिए।
• एक शंकु जिसकी ऊँचाई 8.4 सेमी थी और उसके आधार की त्रिज्या 2.1 सेमी थी, को पिघलाकर एक गोले में बदल दिया गया। गोले की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।
• सुंदर डिजाइन वाले गोलाकार लाल गुब्बारे की त्रिज्या 6 सेमी से बढ़कर 12 सेमी हो जाती है जब इसमें हवा डाली जाती है। क्या आप गणना कर सकते हैं कि हवा के पम्पिंग के परिणामस्वरूप नए गुब्बारे की तुलना में मूल गुब्बारे के सतह क्षेत्रों का अनुपात क्या होगा?
• यदि दो बेलनों की ऊँचाई का अनुपात 4:3 है और उनकी त्रिज्याएँ 3:4 के अनुपात में हैं, तो उनके आयतन का अनुपात क्या है?
• यदि एक लम्ब वृत्तीय शंकु की त्रिज्या 4 सेमी और तिरछी ऊँचाई 5 सेमी है तो उसका आयतन क्या है?

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 से जुड़े प्रश्न उत्तर

पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन कक्षा 9 के कुछ प्रश्न उत्तर यहाँ दिए गए हैं:

उस लंब वृत्तीय शंकु का आयतन ज्ञात कीजिए जिसकी त्रिज्या 6 Cm और ऊँचाई 7 Cm है।

शंकु के आधार की त्रिज्या r = 6 cm और
ऊँचाई h = 7 cm है।
शंकु का आयतन
= 1/3 πr² h
= 1/3 ×22/7 × 6 × 6 ×7
= 264 cm³
अतः, लंब वृत्तीय शंकु का आयतन 264 cm³ है।

एक शंकु की ऊँचाई 15 Cm है। यदि इसका आयतन 1570 Cm³ है, तो इसके आधार की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

शंकु का आयतन V = 1570 cm³ और ऊँचाई h = 15 cm है।
माना, शंकु के आधार की त्रिज्या = r cm
शंकु का आयतन = 1/3 πr²h
⇒ 1570 = 1/3 × 3.14 × r² × 15
⇒ 1570 = 3.14 × r² × 5
⇒ r² = 1570/(3.14 × 5) = 100
⇒ r = √100 = 10 cm
अतः, शंकु के आधार की त्रिज्या 10 cm है।

एक घनाभाकार पानी की टंकी 6 M लंबी, 5 M चौड़ी और 4.5 M गहरी है। इसमें कितने लीटर पानी आ सकता है?

पानी की टंकी की लंबाई l = 6 m, चौड़ाई b = 5 m और गहराई h = 4.5 m है।
पानी की टंकी का आयतन
= lbh = 6 × 5 × 4.5
= 135 cm³
= 135 × 1000 l
= 135000 l
अतः, पानी की टंकी में 135000 लीटर पानी आ सकता है।

ऊपरी व्यास 3.5 M वाले शंकु के आकार का एक गढ्ढा 12 M गहरा है। इसकी धारिता किलोलीटरों में कितनी है?

गढ्ढे के आधार की त्रिज्या r = 3.5/2 = 1.75 m और ऊँचाई h = 12 m है।
गढ्ढे की धारिता
= 1/3 πr²h
= 1/3 × 22/7 × 1.75 × 1.75 × 12
= 38.5 m³
= 38.5 किलोलीटर
[∵1 m³ =1 किलोलीटर]
अतः, गढ्ढे की धारिता 38.5 किलोलीटर है।

एक कमरे की लंबाई, चौड़ाई और ऊँचाई क्रमशः 5 M, 4 M और 3 M हैं। ₹ 7.50 प्रति M² की दर से इस कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय ज्ञात कीजिए।

कमरे की लंबाई l = 5 m, चौड़ाई b = 4 m और ऊँचाई h = 3 m है।
कमरे की दीवारों और छत का क्षेत्रफल
= कमरे का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल – फर्श का क्षेत्रफल
= 2(lb + bh + hl) – lb
= 2(5×4 + 4×3 + 3×5) – 5×4 m²
= 2(20 + 12 + 15) – 20 m²
= 2(47) – 20 m² = 94 – 20 = 74 m²
अतः, कमरे की दीवारों और छत का क्षेत्रफल 74 m² है।
कमरे की दीवारों और छत पर सफेदी कराने का व्यय
= ₹ 7.50 ×74
₹ 555.00

FAQs

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