प्रोबेबिलिटी प्रश्न क्या है?

गणित विषय की अच्छी तैयारी के लिए कक्षा 12 Probability Question in Hindi की जानकारी आप यहाँ प्राप्त कर सकते हैं। ऐसे छात्र जो गणित विषय की परीक्षाओं में अच्छे अंक प्राप्त करना चाहते हैं, उन्हें अपनी तैयारी के लिए यहाँ प्रायिकता के महत्वपूर्ण प्रश्न-उत्तर मिल जाएंगे। महत्वपूर्ण Probability Question in Hindi की जानकारी किसी भी परीक्षा की तैयारी के लिए आवश्यक होती है। चलिए पढ़ते हैं Probability Question in Hindi के बारे में विस्तार से।

प्रायिकता (Probability)

जब किसी भविष्य घटनाओं की अनिश्चितता को गणितीय रूप में व्यक्त किया जाता है तो उसे प्रायिकता (प्रोबेबिलिटी) कहते हैं अर्थात”किसी घटना के होने के संयोग को प्रायिकता कहते हैं।

उदाहरण

अगर किसी सिक्के को उछाला जाता है तो उसमें हेड या टेल आने की संभावना दोनों घटनाओं के बराबर होती है। गणितीय भाषा में

• हेड के आने की प्रायिकता P(E)=1/2
• टेल के आने की प्रायिकता P(E)=1/2

प्रयोग के प्रकार

प्रायिकता सिद्धांत का अध्ययन करते समय, हम अक्सर which ’शब्द का उपयोग करेंगे, जिसका अर्थ है एक ऑपरेशन जो अच्छी तरह से परिभाषित परिणाम उत्पन्न कर सकता है। दो प्रकार के प्रयोग हैं।

• डेटर्मीनिस्टिक प्रयोग: वे प्रयोग जिनके परिणाम सटीक परिस्थितियों में किए जाने पर समान होते हैं, डेटर्मीनिस्टिक प्रयोग कहलाते हैं। जैसे सभी प्रयोग रसायन विज्ञान प्रयोगशाला में किए जाते हैं।
• रैंडम प्रयोग: वे प्रयोग जिनके परिणाम 1 से अधिक हैं जब सटीक परिस्थितियों में किया जाता है तो रैंडम प्रयोग कहा जाता है। जैसे यदि सिक्का उछाला जाता है तो हमें हेड या टेल मिल सकती है।

प्रोबेबिलिटी में घटनाएं

Probability Question in Hindi में घटनाएं कुछ इस प्रकार हैं:

• जब हम कोई प्रयोग करते हैं, तो कुछ परिणाम होते हैं, जिन्हें ईवेंट कहा जाता है। आइए हम विभिन्न प्रकार की घटनाओं का अध्ययन कर सकते हैं। साथ ही जानते हैं Probability Question in Hindi में
• परीक्षण और प्राथमिक घटनाएँ: यदि हम सटीक परिस्थितियों में एक रैंडम प्रयोग दोहराते हैं, तो इसे टेस्ट के रूप में जाना जाता है और सभी संभावित परिणामों को प्राथमिक घटनाओं के रूप में जाना जाता है। जैसे यदि हम एक पासा फेंकते हैं तो इसे एक टेस्ट कहा जाता है और 1, 2, 3, 4, 5 या 6 प्राप्त करना प्राथमिक घटना कहा जाता है।
• यौगिक घटना: जब दो या अधिक प्राथमिक घटनाओं को संयोजित किया जाता है तो इसे यौगिक घटना के रूप में जाना जाता है। जब हम पासा फेंकते हैं, तो एक अभाज्य संख्या प्राप्त करना यौगिक घटना है क्योंकि हम 2, 3, 5 प्राप्त कर सकते हैं और सभी प्रारंभिक हैं।
• मामलों की अत्यधिक संख्या: यह कुल संभव परिणाम है। जब हम एक पासा फेंकते हैं तो कुल संख्या 6 होती है। जब हम एक जोड़ी पासा छोड़ते हैं तो कुल संख्या 36 होती है।
• पारस्परिक रूप से अनन्य घटनाएँ: इसका मतलब है कि एक साथ घटना संभव नहीं है। सिक्के को उछालने के मामले में या तो हेड आएगा या टेल आएगी। तो, दोनों परस्पर अनन्य घटनाएँ हैं।
• समान रूप से मामले: इसका मतलब है कि प्रोबेबिलिटी बराबर हैं। जब हम पासा फेंकते हैं, तो प्रत्येक परिणाम के बराबर मौका होता है। तो यह समान रूप से प्रोबेबिलिटी है।
• कुल मामलों की संख्या: जैसा कि नाम से पता चलता है, टेस्ट की प्राथमिक घटनाओं की कुल संख्या को मामलों की कुल संख्या के रूप में जाना जाता है।
• अनुकूल घटनाएँ: किसी प्राथमिक घटना के वांछित परिणाम को अनुकूल घटना कहा जाता है। जैसे जब हम एक पासा फेंकते हैं और यह पूछा जाता है कि 3 की एक बहु प्राप्त करने की प्रोबेबिलिटी क्या है? इस मामले में अनुकूल मामले 2 (3 और 6) हैं और कुल मामले स्पष्ट रूप से 6 हैं।
• स्वतंत्र घटनाएँ: दो घटनाओं को स्वतंत्र कहा जाता है यदि एक घटना के परिणाम दूसरे के परिणाम को प्रभावित नहीं कर रहे हैं। यदि हम एक सिक्का उछालते हैं और एक पासा फेंकते हैं तो सिक्के का परिणाम सिक्के के परिणाम से स्वतंत्र होता है, दोनों स्वतंत्र घटनाएँ हैं।

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सैंपल स्पेस

जब हम एक प्रयोग करते हैं, तो सभी संभावित परिणामों के सेट S को सैंपल स्पेस कहा जाता है। उदाहरण:

1. एक निष्पक्ष सिक्के को उछालने में S = {H, T}
2. यदि दो सिक्के उछाले जाएं तो S = {HH, HT, TH, TT}
3. एक निष्पक्ष पासे को फेंकने में S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

प्रोबेबिलिटी घटना

सैंपल स्पेस के किसी भी सबसेट को एक घटना कहा जाता है-

• अगर घटना A और B एक साथ नहीं हो सकती तो उन दो घटनाओं को परस्पर अनन्य कहा जाता है।
• घटना A का घटित होना जब घटना B पहले से घटित हो चुकी हो, सशर्त प्रायिकता कहा जाता है। इसे P (A|B) द्वारा चिन्हित किया जाता है।
• किसी घटना के घटित होने की प्रायिकता का पूरक उस घटना के घटित न होने की प्रायिकता है । इसे P(A’) द्वारा चिन्हित किया जाता है।
• अगर घटना A के घटित होने से घटना B के घटित होने की प्रायिकता बदलती है, तो घटनाएं A और B निर्भर हैं और अगर घटना A के घटित होने से घटना B के घटित होने की प्रायिकता नहीं बदलती है, तो घटनाएं A और B स्वतंत्र हैं।

महत्त्वपूर्ण फॉर्मूले

Probability Question in Hindi के महत्वपूर्ण फॉर्मूले नीचे दिए गए हैं-

• एक घटना के घटित होने की प्रायिकता
• जब सैंपल स्पेस S में घटना E के सभी अनुकूल परिणामों की संख्या को कुल परिणामों की संख्या से विभाजित किया जाता है, वह किसी घटना E के घटित होने की प्रायिकता को दर्शाता है। इसलिए P(E) = n(E)/n(S)
• सैंपल स्पेस S में घटना E के न होने की प्रायिकता को निम्नानुसार दर्शाया जाता है।
  P(E’) = 1 – P(E) = 1 – [n(E)/n(S)]
• एक बिल्कुल निश्चित घटना की प्रायिकता है 1P(S) = 1
• किसी भी घटना की प्रायिकता सदैव 0 और 1 के बीच होनी चाहिए।
  0 ≤ P(E) ≤ 1
• एक असंभव घटना की प्रायिकता शून्य है। P(Φ) = 0
• घटना A या घटना B  होने की प्रायिकता है कि घटना A घटित हो Plus घटना B घटित हो Minus A एवं B दोनों घटना परस्पर घटित हों।
• P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)
• गुणा का नियम: मल्टिप्लिकेशन के नियम की महत्ता दो घटनाओं के परस्पर होने की प्रायिकता निकालने में हैं, यानी ऐसी स्थिति कि घटना A और घटना B दोनों घटी हों।
• घटनाएं A और B दोनों घटित होने की प्रायिकता है कि घटना A घटी हो गुणा घटना B घटी हो, जब घटना A पहले से घट गई हो।
  P(A ∩ B) = P(A) P(B|A)
• गिनती का योग नियम: यदि E एक घटना है जो घटना E1 या E2 में से किसी एक के घटाने से घटती हैं।
• n(E) = n(E1) + n(E2)
• गिनती का गुणन नियम: यदि E एक घटना है, जो घटना E1 एवं E2 दोनों के एक साथ घटाने से घटती हैं।
• n(E) = n(E1) × n(E2)
• क्रमचय: यदि कोई घटना E तभी घटित होती हैं, जब n विभिन्न वस्तुओं में r वस्तुएं सजाई जाती हैं।
• n(E) = nPr = n!/(n – r)!
• एक्युमुलेशन: यदि कोई घटना E तभी घटित होती हैं, जब n विभिन्न वस्तुओं में से r वस्तुएं चुनी जाती हैं।
• n(E) = nCr = n!/r!( n – r)!

प्रोबेबिलिटी फॉर्मूले की लिस्ट

Probability Question in Hindi फॉर्मूलों की लिस्ट नीचे दी गई है-

नाम	फॉर्मूले
संभाव्यता सीमा (Probability Range)	0≤ P(A) ≤ 1
जोड़ का नियम (Rule of Addition)	P (AuB)= P(A) + P (B)- P (A ∩ B)
असंबद्ध घटनाएँ (Disjoint Events)	P (A ∩ B)= 0
पूरक आयोजनों का नियम(Rule of Complementary Events)	P(A’) + P(A)= 1
सशर्त संभाव्यता (Conditional Probability)	P (A | B)= P (A ∩ B)/ P(B)
स्वतंत्र कार्यक्रम (Independent Events)	P (A ∩ B)= P(A). P(B)
बेयस फॉर्मूला (Bayes Formula)	P (A | B)= P (B | A). P(A)/ P(B)

हिंदी कक्षा 11 के लिए प्रोबेबिलिटी प्रश्न

1. यदि शब्द ALGORITHM के अक्षरों को यादृच्छिक रूप से एक पंक्ति में व्यवस्थित किया जाता है, तो GOR अक्षरों के एक इकाई के रूप में एक साथ रहने की क्या प्रायिकता है?

उत्तर: हमारे पास शब्द है ALGORITHM अक्षरों की संख्या = 9

2. एक छात्र के अपनी परीक्षा पास करने की प्रायिकता 0.73 है, छात्र के एक कंपार्टमेंट मिलने की प्रायिकता 0.13 है, और छात्र के या तो पास होने या कंपार्टमेंट पाने की प्रायिकता 0.96 है।

उत्तर: असत्य
मान लीजिए A = छात्र परीक्षा
B पास करेगा = छात्र को कंपार्टमेंट मिलेगा
P(A) = 0.73, P(B) = 0.13 और P(A or B) = 0.96
P(A or B) = P(A) + P(B) = 0.73 + 0.13 = 0.86
लेकिन P(A या B) = 0.96 अत: दिया गया कथन असत्य है।

3. दो घटनाओं A और B के प्रतिच्छेदन की संभावना हमेशा घटना के अनुकूल घटनाओं से कम या बराबर होती है

उत्तर: सत्य
हम जानते हैं कि A ∩ B ⊂ A
P (A ∩ B) ≤ P (A)
इसलिए, यह एक सत्य कथन है।

4. घटना A के घटित होने की प्रायिकता .7 है और घटना B के घटित होने की प्रायिकता .3 है और दोनों के घटित होने की प्रायिकता .4 है।

उत्तर: असत्य
A B⊆ A, B
P(A B ) P(A), P(B)
लेकिन दिया गया है कि P(B) = 0.3 और P(A ∩B) = 0.4, जो संभव नहीं है।

5. दो विद्यार्थियों के अंतिम परीक्षा में उत्तीर्ण होने की प्रायिकताओं का योग 1.2 है।

उत्तर: प्रत्येक छात्र द्वारा अपनी अंतिम परीक्षा में डिस्टिंक्शन प्राप्त करने की सही प्रायिकता 1 से कम या उसके बराबर है, दो की प्रायिकताओं का योग 1.2 हो सकता है। अतः यह एक सत्य कथन है।

GMAT के लिए सैंपल प्रोबेबिलिटी प्रश्न

यहां कुछ सैंपल प्रश्न दिए गए हैं जिनका आप अभ्यास करके अपनी GMAT की तैयारी अच्छे से कर पाएंगे। 

प्रश्न-उत्तर

FAQs

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