शंकु (cone), एक त्रि-आयामी ठोस ज्यामितीय आकृति है, जिसका आधार एक वृत्त होता है और शीर्ष बिंदु (Apex) आधार के केंद्र से जुड़ा होता है। शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल गणना में महत्वपूर्ण है, विशेषकर गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग के क्षेत्र में यह एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। शंकु मैथ्स का काफी महत्वपूर्ण टॉपिक है, जिसके बारे में कक्षा 6 से लेकर कक्षा 12 तक की परीक्षाओं में अक्सर पूछा जाता है। इस ब्लॉग में आपके लिए शंकु के पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र की विस्तृत जानकारी दी गई है, जो आपको गणित विषय को पढ़ने के लिए प्रेरित करेगा।
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शंकु के भाग
शंकु के भागों की जानकारी निम्नलिखित है, जो इसके सूत्रों को याद करने में आपकी मदद करेगी –
- आधार (Base): शंकु का निचला गोलाकार हिस्सा, शंकु का आधार कहलाता है।
- ऊंचाई (Height): आधार से शीर्ष तक की लंबवत दूरी को शंकु की ऊंचाई कहा जाता है।
- तिरछी ऊंचाई (Slant Height): आधार के किनारे से शीर्ष तक की तिरछी दूरी को इसके द्वारा दर्शाया जाता है।
- त्रिज्या (Radius): आधार के केंद्र से किनारे तक की दूरी को शंकु की त्रिज्या कहा जाता है।
शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल
शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल दो भागों से मिलकर बनता है:
- वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (Curved Surface Area): शंकु के गोलाकार हिस्से का क्षेत्रफल ही वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल कहलाता है।
- सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (Total Surface Area): वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और आधार के क्षेत्रफल का योग ही सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल कहलाता है।
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शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र
शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र कुछ इस प्रकार है, जिसमें इसके दोनों भागों के सूत्र शामिल हैं –
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA)
वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल (CSA) = πrl
जहाँ,
r = शंकु के आधार की त्रिज्या (Radius of the base)
l = शंकु की लम्बवत ऊँचाई (Slant Height) है।
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA)
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = πrl+πr2
सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल (TSA) = πr (l+r)
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शंकु की लम्बवत ऊँचाई (Slant Height) का सूत्र
यदि शंकु की ऊँचाई ℎ और आधार की त्रिज्या 𝑟 ज्ञात हो, तो लम्बवत ऊँचाई l पाइथागोरस प्रमेय से निकाली जाए तो इसका सूत्र होगा:
शंकु की लम्बवत ऊँचाई l = √(h 2 + r 2)
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शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल का उदाहरण
उदाहरण 1: एक शंकु का आधार 7 सेमी है और उसकी ऊँचाई 24 सेमी है। वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल और सम्पूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल ज्ञात करें?
- आधार की त्रिज्या (r) = 7 सेमी
- ऊँचाई (h) = 24 सेमी
- लम्बवत ऊँचाई (l) = √(h 2 + r 2) = √(24×24+7×7 = √576+49 = √625 = 25 सेमी
CSA:
CSA = πrl =3.14×7×25=549.5 सेमी2
TSA:
TSA = πr(l+r) =3.14×7×(25+7) =3.14×7×32=703.36 सेमी2
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FAQs
शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल, वह कुल क्षेत्रफल है जो शंकु की बाहरी सतह को ढकता है। इसमें शंकु के वक्र पृष्ठ (Curved Surface Area) और आधार का क्षेत्रफल शामिल होता है।
शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालने का सूत्र है:
CSA=πrl
जहां:
r = शंकु के आधार की त्रिज्या (Radius of base)
l = शंकु की ऊर्ध्वाधर लंबाई (Slant height)
शंकु की ऊर्ध्वाधर लंबाई (Slant Height) ज्ञात करने का सूत्र कुछ इस प्रकार है –
शंकु की लम्बवत ऊँचाई l = √(h 2 + r 2)
शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल वस्तुओं की सतह को मापने, रंगाई-पुताई, या निर्माण सामग्री की आवश्यकता का अनुमान लगाने में उपयोगी होता है। यह गणित और भौतिकी में भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।
शंकु के पृष्ठीय क्षेत्रफल के सूत्र में π का मान लगभग 3.14159 होता है। गणनाओं में इसे 22/7 या 3.14 के रूप में भी उपयोग किया जाता है।
शंकु का क्षेत्रफल गणना करते समय सामान्य गलतियाँ जैसे – ऊर्ध्वाधर लंबाई (𝑙) का गलत मान निकालना, π का गलत उपयोग करना, वक्र और कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल के बीच अंतर समझने में गलती करना आदि होती हैं।
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आशा है कि इस ब्लॉग में आपको शंकु का पृष्ठीय क्षेत्रफल का सूत्र जानने का अवसर मिला होगा, साथ ही यह ब्लॉग आपको इंफॉर्मेटिव लगी होगी। इस प्रकार के अन्य ब्लॉग्स पढ़ने के लिए हमारी वेबसाइट Leverage Edu के साथ बने रहें।