गोले का आयतन का सूत्र- गोले का आयतन का सूत्र जानिए उदाहरण के साथ

गणित के विद्यार्थी गोले का आयतन का सूत्र के बारे में भलि भांति जानते ही होंगे, यदि नहीं तो आज की इस पोस्ट में विद्यार्थी चाहें किसी भी विषय के क्यों न हों, उनको गोले का आयतन का सूत्र की उदाहरण के साथ संपूर्ण जानकारी मिलेगी। जिसके लिए आपको इस पोस्ट को अंत तक पढ़ना पड़ेगा।

गोला क्या होता है?

गोला एक ऐसी ज्यामितीय आकृति है, जिसके सभी बिन्दुओं का समूह त्रि-आयामी (3D) क्षेत्र में एक दिए गए केंद्र से समान त्रिज्या पर होता है।आसान भाषा में समझे तो गोला एक ऐसी ज्यामितीय त्रि-आयामी अथवा त्रिविमीय (3-D) संरचना या आकृति को कहा जाता है, जिसमें कोई किनारा या कोना नहीं होता तथा यह किसी दिए गए बिंदु (केंद्र) से समान दूरी (त्रिज्या) पर स्थित, सभी बिंदुओं के समूह के रूप में चित्रित किया जाता है।

गोले की संरचना

गोले के गुणधर्मों के आधार पर ही गोले का आयतन ज्ञात किया जाता है, जिसको जानने से पहले हमें गोले की संरचना को समझ लेना अनिवार्य है। गोले की संरचना मूलतः गोले का केंद्र, व्यास व त्रिज्या पर आधारित होती है, जिसकी जानकारी निम्नवत है-

गोले का केंद्र

एक ऐसा निश्चित बिंदु या नियत बिंदु जिससे किसी त्रि-आयामी गोले का निर्माण होता है, गोले का केंद्र कहलाता है। गोले के केंद्र बिंदु को हमेशा O से सूचित किया जाता है।

गोले का व्यास

यह किसी गोले के सतह पर स्थित वह बिंदु होता है, जिससे एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर जाने वाली रेखाखंड की लम्बाई, केंद्र बिंदु से होकर गुजरती है, गोले का व्यास कहलाती है। आसान भाषा में गोले का व्यास एक सीधी रेखा होती है, जो वृत्त या गोले के केंद्र से गुजरती है। यह रेखा प्रत्येक सिरे पर परिधि अथवा सतह से मिलती है।

गोले की त्रिज्या

किसी गोले के केंद्र से उसकी सतह के बीच के रेखाखंड की लम्बाई, गोले की त्रिज्या कहलाती है।

गोले का आयतन का सूत्र

गोले का आयतन का सूत्र जानकार आप गोले को आसानी से समझ सकते हैं। ग्रीक दार्शनिक आर्किमिडीज को गोले के आयतन का के सूत्र का खोजकर्ता माना जाता है, जिसमे उन्होंने सिद्ध किया था कि गोले का आयतन उसे परिबद्ध करने वाले बेलन के आयतन का दो-तिहाई होता है, जो ऐसा सबसे छोटा बेलन हो जिसमें गोले को रखा जा सकता हो।

अर्थात, एक गोलाकार वस्तु को एक खोखले बेलन के अंदर रखा जाता है, जहाँ गोलाकार वस्तु की त्रिज्या बेलन के वृत्ताकार आधारों की त्रिज्या के बराबर होती है. और गोले का व्यास बेलन की ऊंचाई के बराबर होती है। गोले का आयतन गोले का आयतन का सूत्र निम्नलिखित है-

गोले का आयतन= बेलन के आयतन का 2/3 भाग

अर्थात आयतन = 2/3 (πr²h)

जहाँ r त्रिज्या और h बेलन की ऊंचाई है

हम जानते हैं कि बेलन की ऊंचाई = गोले का व्यास

गोले का आयतन = 2/3 (πr²×2r)

अर्थात, व्यास= 2 × त्रिज्या

अंततः गोले का आयतन = 4/3(πr³)

गोले का आयतन का सूत्र = 4/3 πr³

गोले का व्यास ज्ञात होने की स्थिति में गोले का आयतन का सूत्र:

गोले का आयतन का सूत्र = (1/6) π D³

जहाँ D गोले का व्यास है।

खोखले गोला का आयतन = 4/3 π(R³ – r³)

जहाँ r आन्तरिक त्रिज्या और R गोले का बाह्य त्रिज्या है।

लेकिन जब खोखले गोले का आतंरिक तथा बाह्य व्यास क्रमशः d तथा D दिया हो, तो

खोखले गोले का आयतन = (1/6) π (D³ – d³)

गोला में सबसे बड़े घन का आयतन = 8√3/a × R³

घन ने सबसे बड़े गोले का आयतन = 1/6 a³

जहाँ a घन की भुजा तथा r गोले की त्रिज्या है।

गोले का आयतन सम्बंधित गुणधर्म

गोले के आयतन को ज्ञात करने के लिए आपको गोले का आयतन सम्बंधित गुणधर्मों के बारे में पता होना आवश्यक है, जों कि निम्नलिखित है।

• आर्कमिडीज सिद्धांत के अनुसार गोले का आयतन परिभाषित होता है।
• गोले में कोई भी किनारा तथा कोना नहीं होता है।
• यह केवल और केवल गोल होता है, ना कि यह कोई बहुतल आकृति है।
• गोले के आयतन को V = ⁴⁄₃πr³ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
• गोले के सतह के सभी बिंदु सदैव सामान व स्थित होते हैं।
• एक गोला प्रत्येक दिशा में समरूप तथा सममित होता है।
• किसी गोले में केवल एक वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल होता है।

गोले के आयतन को उदाहरण से समझिए

गोले का आयतन का सूत्र जानने के बाद आप गोले के आयतन को निम्नलिखित उदाहरण से समझ सकते हैं-

प्रश्न: किसी गोले की त्रिज्या 3 cm हो, तो गोले का आयतन ज्ञात करे? (जहाँ π = 22 / 7)

ज्ञात है: गोले का त्रिज्या = 3 cm

गोले का आयतन = 4/3 (πr³)

गोले का आयतन = 4/3 × 22/7 × 3 × 3 × 3

अर्थात, गोले का आयतन = 113.04 cm³

प्रश्न: किसी गोले की त्रिज्या 5 cm हो, तो गोले का आयतन ज्ञात करे? (जहाँ π = 22 / 7)

ज्ञात है: गोले का त्रिज्या = 5 cm

गोले का आयतन = 4/3 (πr³)

गोले का आयतन = 4/3 × 22/7 × 5 × 5 × 5

अर्थात, गोले का आयतन = 523.81 cm³

प्रश्न: 4 cm और 6 cm वाले खोखले गोले का आयतन ज्ञात कीजिए? (जहाँ π = 22 / 7)

ज्ञात है: बड़े गोले की त्रिज्या = 6cm तथा छोटे गोला का त्रिज्या = 3 cm

खोखले गोले का आयतन फार्मूला से = 4/3 π(R³ – r³ )

खोखले गोले का आयतन = 4/3 × 3.14 (6³ – 4³)

खोखले गोले का आयतन = 4/3 × 3.14 (152)

अर्थात, खोखले गोले का आयतन = 636.373 cm³

संबंधित आर्टिकल

• बेलन के आयतन का सूत्र
• घनाभ के आयतन का सूत्र
• शंकु के आयतन का सूत्र

आशा है कि यह पोस्ट आपको इंफॉर्मेटिव लगी होगी, इसी प्रकार की मैथ्स फॉर्मूला से जुड़ी अन्य पोस्ट के लिए हमारी वेबसाइट Leverage Edu के साथ बने रहें।